15.10.08

Το σκουλήκι και η ταινία...

Όμορφη άσκηση που ανέσυρα στην επιφάνεια χθες βράδυ που τακτοποιούσα κάποια παλιά βιβλία μαθηματικών. Είναι σε μια παλιά γλώσσα, καθαρεύουσα την έλεγαν, ότι πρέπει για ...σκώληκες.

Η άσκηση: «Εις σκώληξ βρίσκεται επί ελαστικής ταινίας, αρχικού μήκους 1 χιλιομέτρου (km στα ελληνικά). Ο σκώληξ έρπει με ταχύτητα 1 εκατοστό ανά δευτερόλεπτο (sec στα ελληνικά) κατά μήκος της ταινίας, ενώ ούτη (η ταινία δηλαδή...) επιμηκούται με ρυθμό 1 χιλιόμετρο ανά δευτερόλεπτο (δηλαδή, μετά το τέλος του 1ου sec η ταινία έχει μήκος 2 km, μετά το τέλος του 2ου sec το μήκος είναι 3km κ.ο.κ.). Ερώτησις: σε πόσο χρόνο θα φτάσει ο σκώληξ στο άλλο άκρο της ταινίας αν έχει ξεκινήσει από την αρχή;;»

Δύσκολο πρόβλημα, έτσι;; Ειδικά αν ο σκώληξ είναι σε hangover...

Καλά, καλά... θέλετε και τη λύση πρωινιάτικα... Βασικά, στο Πανεπιστήμιο τη λύναμε με τη χρήση διαφορικών εξισώσεων, έτσι για εξάσκηση. Αν κάτι όμως διδάχτηκα σε αυτό το ίδιο το Πανεπιστήμιο, σπουδάζοντας μαθηματικά, είναι ότι για κάθε τι σύνθετο, δύσκολο ή βαρύ υπάρχει μια απλή σκέψη, συνήθως ανατρεπτική και καταλυτική.

Έτσι και εδώ, η απλή σκέψη είναι ο παρακάτω τρόπος, βασισμένος στο παράδοξο του Ζήνωνος...
Έχουμε και λέμε:
Είναι 1 km = 100.000 cm
Κατά τη διάρκεια του 1ου sec το σκουλήκι διανύει 1cm = 1/100.000 του μήκους της ταινίας.
Τη στιγμή t=2s, η ταινία αποκτά μήκος 200.000cm
Κατά τη διάρκεια του 2ου sec το σκουληκάκι (είπα να το γλυκάνω λιγάκι...) διανύει 1cm=1/200.000 του μήκους της ταινίας.
(και ούτω καθ'εξής)...

Άρα, τη στιγμή t=n s, η ταινία αποκτά μήκος 100.000*n cm
Κατά τη διάρκεια του n-στου sec το σκουληκάκι μας διανύει 1cm=1/(100.000n) του μήκους της ταινίας.

Συνολικά, τη χρονική στιγμή t=n s έχει διανύσει μήκος:
L = (1/100.000)*(1+1/2+1/3+...+1/n)

Το L τώρα είναι σχετικός αριθμός, δηλ. L = (απόσταση που έχει διανύσει)/(συνολικό μήκος ταινίας)
Όταν L=1 το σκουληκάκι μας έχει διανύσει όλη την ταινία!

Κανονικά εδώ πρέπει να αρχίσω να γράφω και να γράφω... και να γράφω για να υπολογίσουμε το άθροισμα στην παρένθεση. Και μετά θα πρέπει να τα εξηγώ στον Λάκη που θα παρατηρήσει ότι δεν βλέπει ποίηση στους αριθμούς... Πηδάμε λοιπόν αυτό το στάδιο, πάμε κατευθείαν στο αποτέλεσμα.

Σύμφωνα με το βιβλίο και τους μαγικούς του υπολογισμούς, το άθροισμα γίνεται >100.000 για n=e^100.000 κλπ. κλπ.

Με λίγα λόγια λοιπόν... για να φτάσει το σκουλήκι μας θα φτάσει στην άκρη της ταινίας χρειάζεται περισσότερο χρόνο από όλη την ηλικία του σύμπαντος... Βάλε και την καθυστέρηση από το hangover, άστα να πάνε, χάλια μαύρα... ούτε στην άλλη ζωή δε φτάνει... Ματαιότης ματαιοτήτων... Γι'αυτό σου λέω, κόψε τον διάδρομο στο γυμναστήριο άμεσα, είναι ελαστικός...